\chapterimage{buzz}
\chaptertext{Où nous découvrons Mathémator et son disciple qui vont
nous emmener vers l'infini et au-delà}
\chapter{Limites et continuité}
\section{Vers l'infini et au-delà : un brin de philosophie}
\subsection{Prenons le temps d'y penser}
\ill{La notion
d'infini a turlupiné les plus grands esprits pendant des siècles. De
rudes batailles philosophico-mathématiques ont été menées de l'Antiquité
à nos jours.
Même si la conception de limite est encore en évolution, celle que vous
avez découverte en classe de Première a vu le jour en 1850 grâce au
charmant \textsc{Weierstra\ss} et avait échappé à \textsc{Galilée,
Descartes, Pascal, Leibniz, Newton}, etc. bref~:~du beau monde...et on
vous demande d'assimiler cette notion en quelques semaines~!}{Weierstrass}
L'humanité ayant pris son temps pour l'acquérir, n'hésitez pas vous non
plus à réfléchir calmement à ce à quoi peut ressembler un \og~infiniment
grand~\fg et un \og~infiniment petit~\fg.
Cela vous permettra peut-être d'éviter d'écrire, comme tant d'autres
lycéens, de grosses bêtises sur vos copies au moment de calculer des
limites.
\subsection{De l'Antiquité au Moyen-Âge}
\ill{Nous sommes coincés
entre deux notions~:~celle d'infiniment grand et celle d'infiniment
petit. C'est la deuxième qui a commencé par poser le plus de problèmes.
Au V\up{e} siécle avant JC, Zénon proposa quatre paradoxes, dont le plus célèbre
est celui d'Achille et de la Tortue. Achille coure beaucoup plus vite
que la tortue mais part 10 mètres derrière elle. Le temps qu'Achille
franchisse ces 10 mètres, la tortue aura parcourue une certaine distance
d, le temps qu'Achille franchisse cette distance d, la tortue aura
parcouru une certaine distance d', etc., donc Achille mettra un temps
infini à franchir ces distances de plus en plus petites mais en nombre
infini~!}{Zenon}
Archimède et avant lui Démocrite réussirent à calculer les volumes de
solides en \og~empilant~\fg des \og~lamelles~\fg planes d'épaisseurs
infiniment petites. C'est ainsi qu'Archimède montra que le volume de la
sphère valait $\frac{4}{3}\pi R^3$.
Concernant les rapports entre les infinis, les questions se posèrent dès
le Moyen-Âge où la figure suivante permit d'affirmer qu'il y avait
autant de points sur le petit cercle que sur le grand\footnote{Les
démonstrations géométriques ont longtemps été les seules démonstrations
admises en mathématiques depuis les Grecs. }.
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{moyenage.1}
\end{center}
Ainsi, deux infiniment grands différents semblent en fait avoir le même
nombre -infini- d'éléments...
\subsection{Du XVI\up{e} au XVII\up{e} siècle}
Entre deux découvertes, \textsc{Galilée} remarqua qu'à chaque entier
naturel, on pouvait associer son carré et réciproquement qu'à chaque
carré on pouvait faire correspondre sa racine carrée.
\ill{\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{moyenage.2}
\end{center}
}{Galilee}
\smallskip
Il y avait donc autant d'entiers naturels que de carrés parfaits, ce qui
en laissa plus d'un rêveur... Le grand \textsc{Leibniz} lui-même refusa
de \emph{croire} que des infinis qui paraissaient de toute évidence de
tailles différentes soient en fait de même taille.
\medskip
\ill{Mais la plus grande
des batailles se joua au sujet des infiniment petits, que
\textsc{Cavalieri}(1598 - 1647) nomma pour la première fois
\emph{indivisibles}.
\textsc{Pascal} en fit de larges commentaires. Il remarqua en effet que
tout esprit admet facilement qu'une quantité puisse être augmentée à
l'infini en la doublant et en réitérant le mécanisme par exemple.}{Pascal}
En revanche il est \emph{psychologiquement} beaucoup plus ardu
d'imaginer un \og~infini de petitesse~\fg.
Prenons un segment de droite et divisons-le en 2, puis encore en 2,
etc. Si on admet une fin de la division nous dit Pascal, on admet
l'existance d'indivisibles. Si ces indivisibles ont une étendue, il sont
encore divisibles, ce qui est absurde. Mais s'ils n'ont pas d'étendue,
on ne peut pas les \og~recoller~\fg pour reformer la division dont ils
sont issus...
Donc, Pascal arrive \emph{indirectement} à la conclusion qu'on ne peut
pas arrêter la division et qu'elle peut se répéter infiniment.
La difficulté d'appréhension vient du fait qu'on n'accède pas
directement à la preuve de l'existence d'infiniment petits, mais
indirectement en prouvant qu'il est impossible qu'ils n'existent
pas~!...
Reste à déterminer la nature de cet infiniment petit. D'une part on le
considère comme négligeable devant des grandeurs \emph{mesurables}, tout
comme le point est négligeable devant la droite.
Mais il ne faut pas trop le négliger sous peine de ne pouvoir
reconstituer en l'additionnant une quantité mesurable comme l'ont
théorisé Leibniz et Newton avec le calcul différentiel comme nous le
verrons en étudiant les dérivées et les intégrales.
Ils ont en effet eu besoin d'addditionner des infiniment petits, mais
ont remarqué des résultats troublants.
Par exemple, \textsc{Euler}(1707 - 1783) a montré que
\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\]
mais que
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots\longrightarrow
+\infty\]
même si dans chacun des cas on ajoute des infiniment petits.
De plus, on peut se demander que vaut
\[1-1+1-1+1-1+\cdots\]
D'une part, $(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0$, et d'autre part
$1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$, et donc...$0=1$~!
Bref, y a quelque chose qui cloche là-dedans, ce qui fit dire à
l'Irlandais \textsc{Berkeley} \emph{ne vaut-il pas mieux donner de
bonnes approximations que prétendre atteindre à l'exactitude par des
sophismes~?} et donc étudier des polygones plutôt que des courbes par
exemple.
Sauf qu'il faudrait alors réfuter le calcul différentiel et renoncer
quasiment à tout ce qui s'est découvert en sciences depuis le XVII\up{e}
siècle~!
\subsection{Le XIX\up{e} siècle...enfin~!}
\textsc{Gauss}(1777 - 1855), l'un des plus grands génies de l'Histoire
n'a pas encore une vision correcte de l'infini, mais résume en fait la
vision générale des limites que vous devez acquérir au Lycée~:
\emph{L'infini ne doit être qu'une façon de parler pour exprimer que
certaines quantités peuvent s'approcher aussi près que l'on veut d'une
limite ou augmenter au delà de toute limite.}
\ill{Le grand bond de la pensée vient d'être effectué~:~cet infiniment petit
qu'on recherchait avec tant d'ardeur depuis des siècles, cet ultime
stade hypothétique, on le cherchait au mauvais endroit~:~on le cherchait
constant alors qu'il faut le considérer comme \emph{variable}~:~c'est ce
que traduit le \emph{aussi petit que l'on veut} dont parle Gauss et que
va reprendre \textsc{Cauchy} dans ses \emph{Leçons sur le calcul
infinitésimal} qui marque le réel envol de l'Analyse moderne.}{Cauchy}
Notre
austère royaliste posa en effet \emph{Si les valeurs successivement
attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe,
de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors
cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.}
C'est la définition utilisée en Terminale. Il existe cependant une
faille dans cette définition mais qui est sans importance à notre
niveau.
Il faudra attendre 1861 et Weierstra\ss\ pour obtenir une définition
rigoureuse et surtout \textsc{Cantor}\label{cantor} pour explorer les réels et
l'infini (voir aussi \vref{discretcontinu}).
\ill{Cantor mit au point la \emph{Théorie des Ensembles} et prouva ainsi des
résultats qui défient la perception que l'on a du monde réel.
Il donna un nom au \emph{cardinal} (c'est-à-dire au nombre d'éléments)
de $\bbn$~:~$\aleph_0$ (qui se lit aleph zéro). Il montra qu'il s'agit
du plus petit cardinal d'un ensemble infini. Comme l'avait déjà
pressenti Galilée, il montra qu'il y a autant d'entiers pairs que
d'entiers tout court, et donc que $2\times \aleph_0=\aleph_0$.
}{Cantor}
Il montra
ensuite qu'il y avait autant de nombres rationnels que d'entiers. Or un
entier peut être représenté par un couple (numérateur,dénominateur). Il
y a donc $\aleph_0\times\aleph_0$ tels nombres et donc
$\aleph_0^2=\aleph_0$... On parle alors d'ensembles
\emph{dénombrables}, c'est-à-dire d'ensembles dont tous les éléments
peuvent être reliés d'une et une seule manière à un entier
naturel\footnote{en gros, on peut accoler un dossard différent à
tous...}
Est-ce pareil pour $\bbr$~? Cantor montra en fait que $\bbr$ n'est pas
dénombrable~:~on ne peut pas mettre un dossard sur chacun des nombre
réels. Plus fort encore~:~il montra qu'il y a autant de nombres dans
$[0\pv 1]$ que dans $\bbr$ tout entier. Et le summum~:~il y a autant de
nombres dans $[0\pv 1]$ que dans l'Espace de dimension 3 tout entier~!
Ce résultat rendit à moitié fou le pauvre russo-germano-danois qui
affirma en parlant de ces résultats~:~\og~je le vois mais je n'y crois
pas~\fg...
Lorsqu'on vous a présenté les réels en 2\textsuperscript{nde}, on vous a
parlé des entiers naturels, des entiers relatifs, des décimaux, des
rationnels, des irrationnels. On a cependant besoin de parler d'une
autre catégorie de nombres~:~\emph{les nombres algébriques} qui sont les
réels solutions d'une équation polynomiale à coefficients rationnels...
Par exemple, $\sqrt{2}$ est algébrique car il est solution de
$x^2-2=0$. De même, $\frac{3}{2}$ est algébrique car solution de
$2x-3=0$.
Les nombres qui ne sont pas algébriques sont dits \emph{transcendants}.
Cantor montra que l'ensemble des nombres algébriques est aussi
dénombrable, et donc que les nombres transcendants ne sont pas
dénombrables, c'est-à-dire qu'il y en a beaucoup plus...or vous ne
connaissez qu'un seul de ces nombres~:~$\pi$~! Et on en connaît en fait
très peu~:~il a fallu de grosses recherches à la fin du XIX\up{e} pour
prouver que $\pi$ était transcendant. C'est assez troublant de penser
qu'on ne connaît pas la plupart des nombres réels~!...
\subsection{Oui...et alors~?}
Votre cerveau fume~?...Bien~! Que retenir de ce passionnant exposé~? Et
bien au moins que \emph{calcul sur les limites = danger}. Les infiniment
grands et les infiniment petits doivent se traiter avec la plus grande
prudence et qu'il a fallu des siècles à l'humanité pour les
apprivoiser. Quant à vous, je vous laisse deux semaines...
Il est maintenant temps de s'amuser un peu.
\section{Qu'est-ce qu'une fonction~?}
\pro Question idiote n'est-ce pas~?
\textbf{Téhessin}\footnote{Si notre héros est un garçon, c'est pour
faciliter les accords des adjectifs et participe passé.} : Ben c'est une
formule comme par exemple $f(x)=(x+1)^2$
\sm
\pro C'est tout~? Je vois...L'année de formation qui nous attend ne sera
pas superflue. Si vous avez éprouvé des difficultés l'an passé, c'est
peut-être que vous n'avez pas fait l'effort d'avoir en tête une
définition claire, précise, rigoureuse. Peut-être n'avez-vous pas
compris comment cette définition pouvait être liée aux diverses
propriétés, à quoi tout le tralala pouvait servir, comment cette partie
du programme pouvait être reliée à d'autres notions déjà étudiées. Vous
ne semblez pas avoir une vision intuitive de la notion susceptible de
vous aider à comprendre comment tout s'imbrique si merveilleusement dans
notre magnifique univers mathématique à l'esthétique si
parfaite. Pourquoi cette notion est-elle apparue~? Quelle est sa place
dans l'histoire de l'esprit humain~? Quelles sont ses applications
concrètes~? C'est avec ces questions en tête que nous essaierons
d'aborder toutes les notions qu'un(e) jeune Mataïe se doit de maîtriser
à l'issue de sa formation terminale.
\MATA{{À ce rythme là, dans deux ans on y est encore, et moi j'ai
d'autres projets.}}
\sm
\pro Vous dîtes~?
\tsx J'ai hâte d'étancher ma soif de connaissance, ô céleste maître.
\pro À la bonne heure~! Disons qu'une fonction associe à TOUT élément
d'un ensemble de départ un UNIQUE élément d'un ensemble d'arrivée. Cela
correspond typiquement au diagramme en patates suivant
\begin{center}
\includegraphics[height=3cm]{limfonc.13}
\end{center}
Nous nous restreindrons aux fonctions dont les ensembles de départ et
d'arrivée sont des parties de $\bbr$.
\tsx Parce qu'il en existe d'autres ?
\pro Nous verrons cette année quelques exemples de fonctions à valeurs
complexes, de fonctions vectorielles, de fonctions de plusieurs
variables, sans toutefois rentrer dans le détail, mais sachez au moins
qu'elles existent. D'ailleurs, vous en avez étudiées en primaire. Votre
instituteur vous a sûrement parlé de celle-ci~:
\[\colon\begin{array}{rll} \bbr_+^2 &\to&\bbr_+ \\ (L,\ell) & \mapsto &
2(L+\ell) \end{array}\]
\MATA{Il est complètement fou...Il y a 5 TS au lycée et faut que je
tombe sur la pire}\textbf{tout haut : } j'ai peut-être un trou de
mémoire mais je doute que ma maîtresse de CM1 m'ait jamais parlé de
cette...chose.
\pro bahh, elle vous a sûrement dit que le périmètre d'un rectangle
était égal au double de la somme de sa longueur et de sa largeur...c'est
pareil.
\tsx Donc ce que j'ai appelé \textit{fonction} depuis le collège n'est
qu'un cas particulier de fonction.
\pro Oui mais, jusqu'à nouvel ordre, par abus de langage,
\textit{fonction} sous-entendra pour nous \textit{fonction d'une
variable réelle à valeurs dans} $\bbr$.
\medskip
Il reste un problème à résoudre pour notre confort intellectuel : nous
travaillons avec des nombres réels, mais qu'est-ce que l'ensemble $\bbr$
des nombres réels ?
\tsx Ben c'est tous les nombres qui existent.
\pro C'est faux et beaucoup trop vague ! Faux car vous avez rencontré en
ce début d'année de nouveaux nombres qui ne sont pas des réels (les
complexes) et vague car cela ne nous permet pas d'avoir des propriétés
sur $\bbr$ exploitables.
Malheureusement, la construction de l'ensemble $\bbr$ est hors de notre
portée pour le moment.
\section{Pourquoi est-il important de préciser sur quel ensemble on
travaille~?}
\pro Posez votre stylo sur votre table et observez-le : il a l'air
solide et immobile. Maintenant, imaginez que vous observez ce même
stylo, mais avec une loupe assez puissante pour voir ce qui s'y passe au
niveau atomique : votre stylo vous apparait alors plein de vide, avec
des électrons qui tournent dans tous les sens. C'est pourtant le même
stylo. Mais une propriété locale - un atome est pratiquement vide de
matière - n'est pas <<~exportable~>> au niveau global - le stylo nous
apparaît solide, sans la moindre trace de vide.
Pour l'étude d'une fonction, il faudra prendre le même type de
précautions, à savoir distinguer un problème local d'un problème global.
\tsx Je comprends votre exemple physique, mais je ne vois pas bien ce
que ça peut donner en mathématique.
\pro Il faut commencer par acquérir une bonne vision de cet ensemble
$\bbr$, à la fois connu et mystérieux. Pour cela fermez les yeux.
\MATA{ C'est le gourou d'une secte ou un prof de maths ?! Je vais quand
même garder un \oe il ouvert au cas où.}
\pro Vous voyez la droite des réels ?
\MATA{ Avec des éléphants roses courant dessus} \textbf{tout haut : }
je ne vois qu'elle.
\pro Bien, alors repérez le nombre 32 et zoomez dessus, disons en vous
plaçant dans l'intervalle [31,33]. Puis rezoomez, cette fois-ci en vous
plaçant dans l'intervalle [31,9\ ; 32,1] : vous êtes plus proche de
32. Mettez-vous maintenant dans la peau de $32-10^{-32}$.
\MATA{\c Ca devient grave, il a peut-être besoin d'une piqure...}
\pro Pour lui, 31,9 est à l'autre bout du monde et il se sent très
proche de 32. Mettez-vous alors à la place de $32-10^{-10^{10^{10}}}$ :
vous vous sentez voisin de 32 et pour vous $32-10^{-32}$ est sur une
autre planète.
\tsx Je commence à voir, les yeux fermés, où vous voulez en venir : on
aura beau chercher, on ne trouvera pas de nombre réel plus proche de 32
que tous les autres.
\pro La notion de <<~proximité~>> devient alors toute relative. Il
faudra garder ces schémas en tête quand nous travaillerons dans $\bbr$.
\medskip
Revenons à présent à notre distingo local - global. Nous serons souvent
amenés à parler d'une assertion vraie ou fausse <<~au voisinage~>> d'un
point. Par exemple, pensez-vous que $x^2\ie1$ au voisinage de 0 ?
\tsx En fait, c'est faux pour $x=2$, par exemple, mais ça devient vrai
si $x$ est compris entre $-1$ et 1, donc <<~localement~>>, autour de 0,
c'est vrai.
\pro On peut dire en fait que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle
$]0-1,0+1[$, l'assertion est vraie. Nous verrons que ce résultat nous
permettra de dire que l'assertion est vraie au voisinage de 0.
\medskip
Maintenant, pensez-vous que $\frac{1}{x^2}\se 16$ au voisinage de 0 ?
\tsx Je vous arrête tout de suite : l'assertion est fausse car elle
n'est même pas vraie en 0 puisque $1/x^2$ n'est pas défini en 0.
\pro Cela aurait pu être un argument mais cela se serait avéré très
réducteur car nous serons amenés à étudier des propriétés au voisinage
de points où la fonction n'est pas définie, notamment au moment de
l'étude des limites. Ici, nous pouvons dire que l'assertion est vraie
pour tout $x$ appartenant à $]0-4,0+4[$ ET à l'ensemble de définition
$\bbr^*$.
On peut utiliser le symbole $\cap$ de l'intersection pour noter
l'ensemble $]0-4,0+4[\cap\bbr^*$, ce qui peut encore s'écrire sous la
forme $]-4,0[\ \cup\ ]0,4[$. Ainsi, n'oubliez pas de considérer
l'intersection de l'intervalle englobant le point avec
\textbf{l'ensemble de définition}.
\medskip
Encore un petit exemple : croyez-vous que $x^3$ soit positif au
voisinage de 0 ?
\tsx En fait, $x$ et $x^3$ ont le même signe donc il suffit de dire que
pour $x=-10^{-32}$ par exemple, l'assertion est fausse.
\pro Mouais, le problème c'est qu'un contre-exemple ne suffit pas : qui
nous dit que $x^3$ ne devient pas positif pour des valeurs de $x$ plus
petite ? Il faut donc donner une démonstration et pas seulement un cas
particulier. Ce sera l'occasion de découvrir un \textit{raisonnement par
l'absurde} qui nous rendra service tout au long de l'année.
\medskip
Supposons donc que l'assertion soit vraie \textit{(on suppose ce qui
nous semble absurde...)}
Cela est équivalent à dire qu'il existe un réel $\e>0$ tel que $x^3$
soit positif pour tout $x\in]0-\e,0+\e[$
Ainsi, par exemple, $(-\e)^3$ est positif or $(-\e)^3<0$ car
$-\e<0$~:~on arrive donc à une \textit{contradiction}.
Il y a donc quelque chose qui cloche dans notre raisonnement et ça ne
peut être que le point de départ car nous sommes sûrs du reste, donc
l'assertion est fausse.
\medskip
Retenez donc bien qu'il faut que le point critique appartienne à
l'intervalle.
Nous pouvons donc proposer l'assertion suivante :
\begin{definition}[voisinage d'un réel] Soit $f$ une fonction définie
sur un ensemble $\DR$ et $x_0$ un réel. Une assertion est vraie
\textbf{au voisinage} de $x_0$ s'il existe un intervalle ouvert $I$
contenant $x_0$ tel que l'assertion soit vraie pour tout $x$ de $I\cap
\DR$
\end{definition}
Nous serons également amenés à étudier des assertions au voisinage de
l'infini.
\tsx \c Ca me parait un peu difficile à atteindre.
\pro Mais ce n'est pas impossible : nous allons un peu modifier notre
définition. Par exemple, est-ce que la fonction inverse
$$f\ :\ \begin{array}{lll} \bbr^* &\to &\bbr\\ x& \mapsto &1/x \end{array}$$
est majorée sur son ensemble de définition ?
\tsx Je sens que c'est faux au voisinage de 0.
\pro Je vous laisse le montrer. Modifions alors le problème : vous êtes
d'accord que $f(x)\ie 1$ dès que $x\in[1,+\infty[$. On dira alors que
$f$ est majorée par 1 au voisinage de $+\infty$ : on ne peut pas mettre
l'infini dans notre intervalle, certes, mais on peut le placer à l'une
de ses extrémités.
\begin{definition}[voisinage de l'infini] Soit $f$ une fonction
définie sur un ensemble $\DR$. Une assertion est vraie \textbf{au
voisinage} de $+\infty$ s'il existe un réel $a$ tel que l'assertion soit
vraie pour tous les $x$ de $]a,+\infty[$
\end{definition}
\tsx Toutes ces propriétés me semblent pourtant plus globales que
locales : elles sont vraies sur de grands intervalles.
\pro Je comprends ce que vous voulez dire : en fait, une propriété est
locale dès qu'elle n'est pas vraie $partout$. Il y a ensuite des
propriétés plus locales que d'autres, je vous l'accorde. Pour vous en
rendre compte, nous allons (re)découvrir un concept vraiment très local,
celui de limite. Retenez également, au point de vue méthodologique,
qu'un raisonnement par l'absurde nous aide souvent à montrer qu'une
assertion est fausse localement.
\section{Approche intuitive des différentes définitions}
\subsection{La fonction f est définie en a}
Deux cas se présentent.
\subsubsection{Il n'y a pas de \og saut\fg{} en a}
\paragraph{Approche intuitive}
%\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{newlimfonc.2}
\end{center}
%\end{figure}
Que l'on vienne de la droite ou de la gauche de $a$, lorsque $x$ se
rapproche de $a$, $f(x)$ se rapproche de $f(a)$.
On note alors que $\displaystyle\lim_{{x\to
a}\atop{xa}}=f(a)$.
La fonction $f$ est dite \textg{continue} en $a$.
\paragraph{Illustration physique}
Vous connaissez peut-être la loi des gaz parfaits qui relie pression,
volume et température d'une certaine masse de gaz dans certaines
conditions~:
$$pV=Rt$$
avec $R$ une constante qui dépend de la nature du gaz et des unités
employées.
Si on considère un gaz parfait dans un récipient à volume constant, la
pression va donc varier en fonction de la température que l'on peut
contrôler selon l'équation~:
$$p(t)=\fr{R}{V} t$$
Soit $\e>0$. Si l'on veut que la pression reste entre les valeurs
$p_0-\e$ et $p_0+\e$, il suffit que l'on contrôle la température pour
qu'elle se situe dans un certain intervalle qui dépendra de la précision
$\e$ choisie :
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.14}
\end{center}
\paragraph{Formalisation mathématique}
\begin{definition}[ Limite finie en un réel] Soit $I$ un intervalle de
$\bbr$, soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I$ vers $\bbr$,
soit $\ell$ un réel et soit $a$ un élément ou une extrémité finie de
$I$. On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque,
pour tout $\e>0$, il existe $\al>0$ tel que, pour tout réel $x$
appartenant à $I\cap[a-\al,a+\al]$, on a $f(x)\in[\ell-\e,\ell+\e]$,
c'est à dire si tout voisinage de $\ell$ contient TOUTES les valeurs de
$f(x)$ prises pour tous les $x$ proches de $a$
\end{definition}
On rencontre parfois la notation équivalente $f(x)\tendvers{a}\ell$
Pour ce qui est de la continuité en un réel:
\begin{definition}[Continuité en un réel]
Soit $a$ un réel, et soit $f$ une fonction
définie sur un intervalle contenant $a$.
On dit que \textbf{\mg$f$ est continue en $a$}
lorsque $f(x)$ tend vers $f(a)$ quand $x$ tend vers $a$.
\end{definition}
\subsubsection{Il y a un \og saut\fg{} en a}
\paragraph{Approche intuitive}
%\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{newlimfonc.3}
\end{center}
%\end{figure}
Un petit bonhomme se promenant sur la courbe en venant de la gauche et
un autre qui vient de la droite ne vont pas pouvoir se rencontrer.
On note alors que $\displaystyle\lim_{{x\to
a}\atop{xa}}$.
La fonction $f$ n'est pas \textg{continue} en $a$.
\subsection{La fonction f n'est pas définie en a}
La encore, plusieurs cas se présentent.
\subsubsection{Il y a un \og saut\fg{} en a}
\paragraph{Approche intuitive}
%\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{newlimfonc.4}
\end{center}
%\end{figure}
Un petit bonhomme se promenant sur la courbe en venant de la gauche et
un autre qui vient de la droite ne vont toujours pas pouvoir se rencontrer.
On note alors que $\displaystyle\lim_{{x\to
a}\atop{xa}}$.
La fonction $f$ n'est bien sûr pas \textg{continue} en $a$.
\subsubsection{Il y a un \og vide\fg{} en a}
\paragraph{Approche intuitive}
%\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{newlimfonc.5}
\end{center}
%\end{figure}
Un petit bonhomme se promenant sur la courbe en venant de la gauche et
un autre qui vient de la droite ne vont toujours pas pouvoir se
rencontrer car il y a un no-mans-land: un Berlinois de l'Ouest aperçoit
un Berlinois de l'Est mais ils ne peuvent se serrer la main.
On note alors que $\displaystyle\lim_{{x\to
a}\atop{xa}}$.
La fonction $f$ n'est toujours pas \textg{continue} en $a$ mais il y a
un espoir...
Il suffit d'abattre le mur de séparation entre les deux villes mais on
définit alors une nouvelle ville qui n'est ni Berlin-Ouest, ni
Berlin-Est mais Berlin tout court.
\paragraph{Formalisation mathématique}
Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais si $\displaystyle\lim_{{x\to
a}\atop{xa}}$, alors
on peut \textg{prolonger la fonction f par continuité}
en créant une nouvelle fonction $g$ définie par:
$$
\begin{cases}
g(x)=f(x)\quad \forall x\neq a\\
g(a)=\alpha
\end{cases}
$$
\subsubsection{Il y a un \og mur vertical\fg{} en a}
\paragraph{Illustration physique}
Utilisons cette fois-ci la loi de Newton, donnant la force qu'exercent
l'un sur l'autre deux points matériels de masses $m$ et $m'$ distants de
$d$
$$f=G\fr{mm'}{d^2}$$
avec $G$ la constante de l'attraction universelle.
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.15}
\end{center}
Pour que $f$ reste supérieure à une valeur arbitraire $A$, il suffit que
les points matériels soient à une distance inférieure à
$\sqrt{\fr{Gmm'}{A}}$
\paragraph{Formalisation mathématique}
\begin{definition}[Limite infinie en un réel] Soit $a\in\bbr$, et soit
$f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Dire qu'une fonction
$f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout voisinage de
$+\infty$ contient TOUTES les valeurs de $f(x)$ prises dans tous les
voisinages de $a$.
\end{definition}
La formulation fait peur mais j'espère que l'illustration physique est
assez parlante. Ici, $a$ a pour valeur 0 et $I=]0\pv +\infty[$.
\subsection{Limite finie en l'infini}
\paragraph{Approche intuitive}
%\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{newlimfonc.16}
\end{center}
%\end{figure}
À partir d'un certain seuil, on peut faire rentrer toute la courbe à
l'intérieur d'un tube de diamètre aussi petit que l'on veut.
\paragraph{Illustration physique}
Vous savez qu'au moment de démarrer votre 309 custom megabass, l'huile
du moteur est froide puis la température d'huile augmente pour finir par
se stabiliser autour de 90°C, que vous rouliez 30 minutes ou 32 heures
(sauf incident).
On peut modéliser ce comportement en disant que la température
$\theta$ de l'huile évolue en fonction du temps $t$ selon la loi~:
$$\theta(t)=\tau\pa{1-\frac{1}{(t-1,1)^k}}$$
avec $k$ une constante dépendant de la viscosité de l'huile et $\tau$ la
température du régime stationnaire (90°C pour votre custom).
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.16}
\end{center}
Ainsi, si l'on veut que la température $\theta$ reste comprise dans
l'intervalle $]\tau-\e,\tau+\e[$, il suffit d'attendre suffisamment
longtemps.
\paragraph{Formalisation mathématique}
\begin{definition}[Limite finie en l'infini] On dit que $f(x)$ tend
vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque, pour tout réel
$\e>0$, tout intervalle $]\ell-\e,\ell+\e[$ contient toutes les valeurs
de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
\end{definition}
Je vous laisse bien sûr adapter cet énoncé au cas d'une limite en
$-\infty$.
\subsection{Limite infine en l'infini}
Vous connaissez la formule donnant l'énergie cinétique d'un solide de
masse se déplaçant à la vitesse $v$~:
$$\ER_C=\fr{1}{2}mv^2$$
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.17}
\end{center}
Si l'on veut que l'énergie cinétique reste supérieure à une certaine
valeur quelconque strictement positive $\ER_{\text{seuil}}$, il suffit
que la vitesse reste supérieure à une certaine valeur $v_0$ qui dépendra
du choix de $\ER_{\text{seuil}}$.
\paragraph{Formalisation mathématique}
\begin{definition}[Limite infinie en l'infini] On dit que $f(x)$ tend
vers $+\infty$ quand $x$ tend $+\infty$ lorsque, pour tout réel $A$
strictement positif, l'intervalle $]A,+\infty[$ contient toutes les
valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
\end{definition}
\section{Les théorèmes}
\tsx Je commence à m'habituer à ces définitions mais serons-nous
toujours obligés d'y revenir pour calculer des limites ?
\pro Rassurez-vous, dans la plupart des cas, nous pourrons utiliser les
théorèmes que vous avez en fait découvert l'an passé.
Mais avant toute chose, voici le principal théorème du cours
\begin{theoreme}[] En analyse, un dessin avant de résoudre
l'exercice tu feras.
\end{theoreme}
\subsection{Théorèmes de comparaison}
\pro Ce théorème est résumé par le dessin suivant:
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.8}
\end{center}
\begin{theoreme}[] Si pour tout $x\se m$ on a $g(x)\se f(x)$ et si
$\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, alors $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$
\end{theoreme}
\tsx En fait, ça veut dire que si on est plus grand que quelque chose
qui tend vers $+\infty$, on tend soi-même vers $+\infty$.
\pro C'est cela, oui, et il existe le pendant en $-\infty$ que je vous
laisse imaginer. Maintenant, le dessin est bien beau, mais il s'agirait
de démontrer ce résultat. Or nous n'avons que la définition de la limite
en magasin, donc utilisons-là.
On veut prouver que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$, donc on considère un
réel positif $A$ quelconque.
Puisque $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, il existe un réel $M$ tel que, pour
tout $x\se M$, on a $f(x)\se A$
De plus, pour tout $x\se m$, on a $g(x)\se f(x)$
Donc, si on appelle $\mu$ le plus grand des réels $m$ et $M$, pour tout
$x\se \mu$, on a $g(x)\se A$, ce qui exprime que
$\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$.
\medskip
Par exemple $\Lim{+\infty}\sqrt{x}=+\infty$ et $g(x)=\sqrt{x}+|\sin
x|\se \sqrt{x}$ pour tout réel $x$, donc par comparaison des limites on
obtient que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$.
\subsection{Théorèmes des gendarmes}
\pro Un nom qui fait un peut peur et qui laisse imaginer le pauvre
prisonnier entouré de deux fiers à bras en uniforme. On aurait pu aussi
l'appeler théorème des portes d'ascenseur, théorème de la mouche
écrasée, théorème du rouleau compresseur, et j'en passe et des
meilleures.
Comme d'habitude, l'idée vient du petit dessin suivant
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.9}
\end{center}
Une fonction $f$ est coincée entre deux fonctions $g$ et $h$ qui tendent
vers $\ell$ en $+\infty$, alors $f$ elle-même va tendre vers $\ell$ en
$+\infty$. Il ne reste plus qu'à trouver un énoncé et une démonstration.
\tsx Je veux bien donner l'énoncé:
\begin{theoreme}[Théorème des gendarmes en l'infini] Soient $f$,
$g$ et $h$ des fonctions et $\ell$ et $A$ deux réels.
Si $\Lim{+\infty}g(x)=\Lim{+\infty}h(x)=\ell$ et que $g(x)\ie f(x)\ie
h(x)$ pour tout $x\se A$, alors $\Lim{+\infty}f(x)=\ell$
\end{theoreme}
\pro La démonstration se déduit du dessin : on fixe un réel $\e>0$
quelconque.
Comme $\Lim{+\infty}g(x)=\ell$, il existe un réel $A_g$ tel que, pour
tout $x>A_g$ on a $g(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$,
i.e. $\ell-\eA_h$ on a $h(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$,
i.e. $\ell-\eM$ $$\ell-\e0$, on obtient donc $$-\fr{1}{x}\ie\fr{\sin x}{x}\ie\fr{1}{x}$$
Or $\Lim{+\infty}-\fr{1}{x}=\Lim{+\infty}\fr{1}{x}=0$, donc, d'après le
théorème des gendarmes on obtient
$$\Lim{+\infty}\fr{\sin x}{x}=0$$
\subsection{Opérations sur les limites}
\pro Il suffit d'ouvrir votre livre à la page 36 : toutes ces propriétés
sont admises même si elles sont démontrables à l'aide des définitions.
Vous devez malgré tout garder en tête qu'apprendre un tel tableau est
inutile~:~il faut le sentir et vous laisser guider par votre
intuition...
Pour cela, vous vous doutez bien qu'un infini l'emportera toujours sur
un réel et que deux réels se comportent comme d'habitude.
Mais un faux réel se cache dans ce tableau~:~0 qui n'est pas le réel
zéro mais représente ici un \emph{infiniment petit}.
Dans quatre cases du tableau se cachent des \emph{formes indéterminées}
qui sont en fait des combats d'infinis (grands et petits).
Souvenez-vous de $\aleph_0$~:~il est égal à son carré, à son
double... Il se passe des choses bizarres vers l'infini...
Mais gardons en tête l'idée de combat~:~c'est le plus fort qui
l'emportera~!
Considérons par exemple $x^3-x$ au voisinage de $+\infty$~:~$x^3$ et $x$
tendent tous les deux vers $+\infty$. On doit donc retrancher deux
infinis différents~:~qui sera le plus fort~? Y aura-t-il match nul~? On
ne peut pas le savoir a priori~:~il faut essayer de \emph{lever
l'indétermination}.
Ici, un moyen simple est de factoriser par celui qu'on pressent être le
plus fort~:~$x^3$.
\[x^3-x=x^3 \left(1-\frac{1}{x^2}\right)\]
Or $\Lim{+\infty}\frac{1}{x^2}=0$ (un grain de riz divisé par 1,2
milliards de chinois, ça ne laisse pas grand chose à manger pour
chacun...) donc $\Lim{+\infty}1-\frac{1}{x^2}=1$.
Or $\Lim{+\infty}x^3=+\infty$~:~on est donc ramené à \og multiplier\fg{}
$+\infty$ par un nombre positif...plus de problème.
\subsection{Limites de fonctions composées}
\pro J'espère que vous êtes à l'aise dans la composition - décomposition
de fonctions. Par exemple, pouvez-vous décomposer la fonction $\varphi~:~
x\mapsto \sqrt{-3x+1}$ en deux fonctions élémentaires ?
\tsx J'y arrive encore $$x\xrightarrow{t\mapsto
-3t+1}-3x+1\xrightarrow{t\mapsto\sqrt{t}}\sqrt{-3x+1}$$
\definecolor{vert}{rgb}{0,0.392193,0}
\pro Bien. supposons maintenant que vous vouliez étudier la limite de
$\varphi$ en $-\infty$. Nous allons être amenés à décomposer le calcul de
limite. Pour nous guider, nous aurons besoin de la propriété (admise)
suivante :
\begin{propriete}[Limite de fonctions composées] Soient $\omega$,
$\Omega$ et $\ell$ des réels ou l'infini et $f$ et $g$ deux fonctions,
alors
\[ \left.\begin{array}{l}
\Lim{\textcolor{red}{\omega}}f(x)=\textcolor{magenta}{\Omega}\\
\ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{\Omega}}g(T)=\textcolor{vert}{\ell}\end{array}\right
\rbrace\Longrightarrow \Lim{\textcolor{red}{\omega}}g\circ
f(x)=\textcolor{vert}{\ell}\]
\end{propriete}
Appliquez cette propriété au cas étudié.
\tsx Avec les couleurs, cela donne
$$ \left.\begin{array}{l}
\Lim{\textcolor{red}{-\infty}}-3x+1=\textcolor{magenta}{+\infty}\\
\ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{+\infty}}\sqrt{T}=\textcolor{vert}{+\infty} \end{array}
\right\rbrace \stackrel{\text{par
composition}}{\Longrightarrow}\Lim{\textcolor{red}{-\infty}}
\varphi(x)=\textcolor{vert}{+\infty}$$
\section{Comportement asymptotique}
\subsection{Comment démontrer qu'une courbe admet une asymptote au
voisinage de l'infini~?}
\pro Le mot asymptote évoque sûrement quelque chose pour vous.
\tsx C'est quand la courbe ressemble à une droite et il y a un rapport
avec les limites, mais j'avoue avoir quelque peu oublié le reste.
\pro Et bien reprenons depuis le début. Et pour commencer, bien sûr, un
petit dessin~:
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.11}
\end{center}
Pour traduire numériquement le fait que la courbe vient <<~se coucher~>>
sur la droite, il faudrait mettre en évidence que $e(x)$ devient de plus
en plus petit à mesure que $x$ augmente.
\tsx \c Ca sent la limite : il doit falloir dire que
$\Lim{+\infty}e(x)=0$
\pro Exactement~! Or $e(x)=f(x)-(ax+b)$ donc
\begin{theoreme}[asymptote au voisinage de l'infini]\label{asymptote} La courbe d'équation $y=f(x)$ admet la droite
d'équation $y=ax+b$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$ si et
seulement si $$\Lim{+\infty}\cro{f(x)-(ax+b)}=0$$
\end{theoreme}
On obtient un théorème similaire en $-\infty$.
\subsection{Si $\mathbf{\Lim{+\infty}f(x)=+\infty}$, alors $\mathbf{\CR_f}$ admet -elle
forcément une asymptote au voisinage de $\mathbf{+\infty}$~?}
\MATA{ Je sens le piège} \textbf{(tout haut)} Non, bien sûr !
\pro Alors donnez-moi un contre-exemple.
\MAT{ Si j'ai bien compris, la courbe doit <<~ressembler~>> à une droite
au voisinage de l'infini, or une droite est la représentation graphique
d'une fonction affine. Ainsi, pour que la courbe admette une asymptote
en l'infini, il faut qu'elle soit la représentation d'une fonction du
style
$$x\mapsto ax+b+e(x)$$
avec $e(x)$ qui tend vers 0 en l'infini, c'est à dire une partie affine
plus une partie qui compte pour du beurre.}
\pro Votre esprit d'analyse m'impressionne mais vous ne m'avez pas donné
de contre-exemple.
\MAT{ Il suffit de prendre une partie non affine plus un bout
négligeable. Disons $x\mapsto x^2+1/x$. Je rentre également la courbe
d'équation $y=x^2$ et j'obtiens sur l'écran de ma calto :
}
\begin{pro-courbemulti}{1}
[
[x^2,"rouge"],
[x^2+1/x,"bleu"]
],
-3.5,3.5,-3,12, //xmin,xmax,ymin,ymax,
1,2,1,2,1,1, //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
[ // ----------------- debut des options
["base"] // pour avoir les vecteurs de base
]// ----------------- fin des options
\end{pro-courbemulti}
\pro Vous obtenez ce que vous appellerez peut-être un jour une branche
parabolique. Mais il existe des comportements beaucoup plus
irréguliers. Néanmoins vous avez bien compris que l'on peut reconnaître
des termes dominants dans une expression. Attention, c'est un problème
local. Dans votre exemple, $x^2$ est dominant en $+\infty$, mais au
voisinage de zéro, c'est $1/x$ qui domine.
\MATA{Ça va, j'ai compris : global vs local. Il commence à radoter.}
\pro Après avoir étudié les quelques exemples présentés dans les
recettes à Bac \vpageref{recette}, il ne vous reste plus qu'à vous
entraîner sur une petite centaine
d'exercices pendant ma pause méditation. Que la force soit avec vous~!
\subsection{Dominants et dominés}
\tsx Votre intitulé fait un peu peur.
\pro \'Evitons tout anthropomorphisme et contentons-nous de flotter dans
l'éther mathématique.
Comme nous venons de le remarquer, il faudra cette année le plus souvent
repérer à l'\oe il nu la limite en repérant les dominants et les
dominés. Dans l'exemple précédant, $1/x$ était le terme dominant et
$x^2$ le terme dominé au voisinage de 0, donc c'est $1/x$ qui
<<~portera~>> la limite. Mais au voisinage de l'infini, les rôles
s'échangent.
C'est parfois moins visible.
Prenez par exemple $3x^2-132x+27$ au voisinage de $+\infty$. Nous sommes
confrontés à une forme indéterminée $\infty-\infty$. Mais fermez les
yeux et regardez les graphes des fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto
x^2$ :vous voyez bien que $x^2$ est bien plus fort que $x$ au voisinage
de l'infini, et donc que c'est $x^2$ qui porte la limite qui sera donc
$+\infty$.
\tsx Je pourrai écrire ça sur mes copies ?
\pro Et non : ce n'est qu'un support à l'intuition, qui peut parfois
être dangereuse comme nous le verrons dans les <<~ vrai ou faux~>>. Pour
le prouver par le calcul, on peut par exemple mettre le plus fort en
facteur :
Pour tout $x\neq 0$, $3x^2-132x+27=x^2\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}$
Or
{\small $$\left.\begin{array}{r}\left.\begin{array}{l}\Lim{+\infty}\fr{132}{x}=0\\\Lim{+\infty}\fr{27}{x^2}=0\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par
somme}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}=3\\\Lim{+\infty}x^2=+\infty\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par
produit}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}3x^2-132x+27=+\infty$$
}
\section{Propri\'et\'es des fonctions continues sur un
intervalle}
\subsection{Intervalle}
\pro Tout d'abord, qu'est-ce qu'un intervalle~?
\MAT{Ben c'est quelque chose du style $[a,b]$, ou $]a,b]$ ou
$[a,b[$, ou $]a,b[$, ou $]-\infty,b]$ ou etc.}
\pro C'est un peu vague. Malheureusement une définition rigoureuse
n'est pas envisageable en Terminale. Posons-nous au moins une
question~: est-ce que $\bbr^*$ est un intervalle~?
\MAT {Je pense que non~: il n'entre dans aucune des catégories car
il a un <<~trou~>>.}
\pro C'est bien vu. Nous devrons nous contenter de cette absence
de <<~trou~>> pour caractériser les intervalles.
\subsection{Quelles sont les fonctions dont le graphe est un
trait continu ?}
\pro On peut déjà remarquer que c'est le cas de la plupart des
fonctions que vous connaissez \mat. En effet, on peut considérer
que les graphes des fonctions polynômiales, rationnelles, racine
carrée, sinus,... sont des <<~traits continus~>>, c'est-à-dire
qu'on n'a pas à <<~lever le crayon~>> pour les tracer.
\sm
Mais attention, ce n'est pas toujours le cas. Nous avons déjà
étudié la fonction
$$g:[0,2]\to\bbr,\,x\mapsto
\begin{cases}
\cos x&{\rm si}\ x\in[0,1]\\
\cos(x-1)&{\rm si}\ x\in]1,2]\\
\end{cases}$$
et son graphe n'est pas un <<~trait continu~>>.
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.3}
\end{center}
\MAT{Mais cette notion de <<~trait continu~>> a-t-elle un sens
mathématique ?}
\pro Pour le moment, cette notion de <<~trait continu~>> est juste
une notion intuitive que tout le monde comprend. Et ce que je vous
propose de faire maintenant, c'est de chercher quelle propriété
une fonction doit vérifier pour que son graphe soit un <<~trait
continu~>>.
\sm
La première condition est que la fonction soit définie sur un
intervalle. Vous voyez bien par exemple que le graphe de la
fonction
$$f:\bbr^*\to\bbr,\,x\mapsto\frac{1}{x}$$
n'est pas un <<~trait continu~>> et la raison en est que $\bbr^*$
n'est pas un intervalle.
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.7}
\end{center}
On se limite donc à une fonction définie sur un intervalle.
Pouvez-vous me dire, \mat, à quelle condition son graphe est un
<<~trait continu~>> ?
\MAT{J'ai peut-être une idée. La fonction $g$ précédente est bien
définie sur un intervalle mais elle a un graphe <<~en deux
morceaux~>> parce que $g(x)$ est défini par deux formules
différentes suivant les valeurs de $x$. Mais s'il n'y a qu'une
seule formule, comme pour les fonctions polynomiales, cosinus ...,
alors le graphe sera un trait continu. }
\pro Non \mat. La fonction partie entière
$$f:\bbr\to\bbr,\,x\mapsto E(x)$$
est définie par <<~une seule formule~>>, comme vous dites, mais il
faut lever le crayon pour tracer son graphe.
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.6}
\end{center}
Vous sentez bien que la notion de <<~fonction définie par une
seule formule~>> est trop vague. Il faudrait préciser son sens, et
ce n'est pas facile. Revenons plutôt à la fonction $g$ : à votre
avis, pour quelle raison son graphe n'est-il pas un trait
continu~?
\MAT{Peut-être parce que les limites de $g$ à gauche et à droite
en 1 sont différentes.}
\pro C'est ça, et comme ces deux limites sont différentes, $g$ n'a
pas de limite en 1. Plus généralement, si l'on considère une
fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, le graphe $\Gamma_f$
ne peut être un <<~trait continu~>> que si $f$ admet une limite en
tout point $a$ de $I$. Et d'ailleurs, comme $f$ est définie en
$a$, cette limite est nécessairement égale à $f(a)$. On constate
que c'est cette condition
sur $f$ qui rend compte du fait que $\Gamma_f$ est un <<~trait
continu~>>. Mais plutôt que de dire ~\textit{le graphe de $f$ est
un trait continu}, on dira \textit{la fonction $f$ est continue}.
\begin{definition}
Soit $I$ un intervalle de $\bbr$ et $f$ une
fonction de $I$ vers $\bbr$. On dit que $f$ est continue lorsque,
pour tout $a\in I$, on a $\ds\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, ce qui
revient à dire que $f$ est continue en tout point de $I$.
\end{definition}
\MAT{Mais il est impossible de vérifier pour chaque point que la
fonction y est continue~!}
\pro Certes~! Nous pouvons malgré tout aisément vérifier que les
fonctions polynômes, sinus, cosinus, valeur absolue, racine carrée
sont continues.
Dans la pratique nous utiliserons les théorèmes opératoires. Nous
pouvons ainsi montrer, grâce aux théorèmes opératoires sur les
limites que les sommes, produits, quotients et composées des
fonctions de référence sont continues \textbf{là où elles sont
définies}.
\sm
Par exemple, nous écrirons que la fonction $x\mapsto
\fr{x^2-3x+1}{x-2}$ est continue sur $]-\infty,2[$ ET sur
$]2,+\infty[$ comme quotient de fonctions polynomiales continues.
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.8}
\end{center}
\MAT{Donc si j'ai bien compris, il faut interpréter la continuité
d'une fonction définie sur un intervalle en disant que son graphe
est un <<~trait continu~>>.}
\pro C'est ça.
%\MAT{Mais vous m'aviez expliqué que la
% continuité de
% $f$ en $a$ ne signifiait pas que $\Gamma_f$ soit un <<~trait continu~>> au voisinage du
% point d'abscisse $a$. C'est assez curieux.}
%
%\pro Tout à fait ! Mais il faut distinguer la continuité
%\textit{en point donné} et la continuité \textit{sur tout un
%intervalle} qui elle peut s'interpréter en terme de <<~graphe
%continu~>>.
%
\subsection{Application fondamentale~:~une fonction continue peut-elle changer de signe sans
s'annuler ?}
\MAT{Je pense que non ! Car pour relier par un <<~trait continu~>>
un point situé en dessous de l'axe $Ox$ à un point situé au
dessus, il faudra couper cet axe.}
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.9}
\end{center}
\pro Très bien ! L'interprétation intuitive de la continuité de
$f$ vous a permis de deviner le résultat. Mais il faut maintenant
le démontrer rigoureusement en revenant à la définition de la
continuité. Autrement dit, étant donnée une fonction $f$ continue,
définie sur un intervalle contenant $a$ et $b$ avec $a2}f(x)= + \infty \text{ et } \lim_{x\to 2 \atop
x<2}f(x)= - \infty \,.\]
\end{center}
\begin{exemple}[] Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) =
\frac{x^{2} - x +1}{x - 1}\,.\] \'Etudier les limites de $f$ au
voisinage de 1 puis interpréter graphiquement ce résultat.
\end{exemple}
\subsubsection{Asymptote oblique}
On utilise le théorème~\vref{asymptote}.
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{analyse20078.3}
\[\lim_{x\to -\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)=0 \text{ et } \lim_{x\to
+\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)= 0\,.\]
\end{center}
\begin{exemple}[] Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$
par
\[f(x) = \frac{1}{x^{2}} + 2x -1\,.\] Prouver que la droite
$\Delta$ d'équation $y=2x-1$ est une asymptote oblique à la courbe
représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.
\end{exemple}
\subsection{ Comment montrer qu'une fonction est paire~?}
Il faut vérifier que l'ensemble de définition de $f$ est symétrique par
rapport à zéro puis que pour tout réel $x$ de l'ensemble de définition
$f(-x)=f(x)$.
Nous en déduisons que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées. Il suffira donc d'étudier la fonction sur la <<~moitié~>> de
l'ensemble de définition, puis de déduire le reste de la courbe par
symétrie.
\subsection{ Comment montrer qu'une fonction est impaire~?}
cf le paragraphe précédent en remplaçant $f(-x)=f(x)$ par $f(-x)=-f(x)$
et <<~symétrique par rapport à l'axe des ordonnées~>> par <<~symétrique
par rapport à l'origine du repère~>>.
\subsection{ Comment montrer qu'une courbe admet le point A(a,b) comme
centre de symétrie~? }
Faîtes avant tout un dessin pour visualiser que $A$ est le milieu du
segment $[MM']$ avec $M\big(x,f(x)\big)$ et
$M'\big(x',f(x')\big)$. Alors d'une part $\fr{x+x'}{2}=a$, donc
$x'=2a-x$ et d'autre part $\fr{f(x)+f(x')}{2}=b$, $i.e.$
$$f(x)+f(2a-x)=2b$$
\subsection{ Comment montrer qu'une fonction est périodique~?}
Il s'agit de trouver un réel $T$ tel que pour tout réel $x$ appartenant
à l'ensemble de définition de $f$, alors
$$f(x+T)=f(x)$$
Il suffira alors d'étudier la fonction sur un intervalle de longueur
$T$, par exemple $[0,T]$, puis de déduire le reste de la courbe par des
translations successives de vecteur $k\ve{i}$, avec $k\in\bbz$.
\sm
Vous connaissez bien sûr la fonction sinus qui vérifie
$\sin(x+2\pi)=\sin x$ pour tout réel $x$ et qui est donc
$2\pi$-périodique.
\subsection{ Comment étudier le signe d'une expression~?}
Vaste problème...Retenir malgré tout qu'en règle général, nous savons
étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de polynômes du
1\textsuperscript{er} ou du 2\textsuperscript{nd} degré,
d'exponentielles (~qui sont toujours positives~), de cosinus ou de
sinus, de logarithmes népériens... Vous chercherez donc en général à
factoriser ou à réduire au même dénominateur votre expression.
\sm
Si cela s'avère impossible algébriquement, on vous suggérera d'étudier
une fonction. Alors soit elle admettra comme extremum zéro, soit vous
déterminerez une approximation de la valeur d'annulation de $f$ grâce au
théorème de la bijection et vous conclurez à l'aide du tableau de
variations.
\subsection{Qu'est-ce qu'une fonction croissante sur I~?}
C'est une fonction qui conserve l'ordre sur $I$.
\subsection{ Comment lever une indétermination~?}
Il n'y a pas une méthode mais des méthodes. Il ne s'agit donc pas
d'apprendre par c\oe ur des recettes (tiens tiens...), ce qui vous
induirait à écrire de grosses sottises.
Vous pouvez dans un premier temps repérer des termes <<~négligeables~>>
devant d'autres et factoriser par le plus <<~fort~>> (c'est le cas par
exemple des fonctions rationnelles au voisinage de $+\infty$ ou
$-\infty$).
Vous pouvez minorer ou majorer par des valeurs permettant de conclure à
l'aide des théorèmes de comparaison (c'est le cas de la fonction cosinus
qui vérifie \[-1\ie\cos x\ie 1\] pour tout réel $x$ et
donc \[-\fr{1}{x}\ie \fr{\cos x}{x}\ie \fr{1}{x}\] pour $x\neq 0$ et
finalement
\[\ds\lim_{x\to+\infty}\fr{\cos x}{x}=0\] par application du théorème
des gendarmes.
Vous pouvez utiliser les propriétés algébriques de certaines fonctions
pour retrouver des limites connues
( $x^2+1=\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}$...)
Dans le cas de l'étude de limites de fonctions irrationnelles, le
recours à la quantité conjuguée peut s'avérer utile.
Dans les cas désespérés, vous pouvez essayer de reconnaître la limite
d'un taux de variation et donc utiliser la dérivée associée.
\subsection{Y a-t-il différents
types de discontinuité ?}
\pro Oui ! Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si
elle a une limite à gauche et une limite à droite en $a$ et que
ces deux limites sont égales à $f(a)$. Elle peut donc être
discontinue en $a$ pour plusieurs raisons.
\begin{itemize}
\item Première raison possible : $f$ admet une limite à gauche et à
droite en $a$, mais ces deux limites ne sont pas égales. C'est le
cas de la fonction $f_2$ de la question précédente.
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.3}
\end{center}
\item Deuxième raison possible : $f$ admet une limite commune à gauche
et à droite en $a$, mais $f$ n'est pas définie en $a$ ou admet une autre valeur que la limite
commune.
C'est le cas par exemple de la fonction sinus amorti, très importante en physique
\[f_4~:~x\mapsto \frac{\sin x}{x}\ \text{ pour tout } x\neq 0\]
Nous avons montré en exercice que $\limg{0}f_4(x)=\limd{0}f_4(x)=\Lim{0}=1$.
Il suffit donc maintenant de créer la \emph{nouvelle fonction} $g$ suivante
\[g~:~x\longmapsto \begin{cases}\frac{\sin x}{x}\ \text{ pour tout } x\neq 0\\ 0\
\text{ si }x=0\end{cases}\]
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.5}
\end{center}
On dit alors qu'on a \emph{prolongé $f_4$ par continuité en 0}.
\item Troisième raison possible, et les choses deviennent compliquées~:
$f$ n'a pas de limite à droite ou à gauche en $a$. Il faut bien
avouer que dans la pratique, presque toutes les fonctions ont une
limite à gauche et à droite. Mais il faut avoir vu ces
contre-exemples une fois dans sa vie, pour bien comprendre la théorie, comme
celui de la fonction $f_5$ définie par
$$\text{pour tout } x\in\bbr^*\ \ f_5(x)=\cos\left({1}/{x}\right),\ \text{et }
f_5(0)=0$$
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.4}
\end{center}
Elle n'a pas de limite à droite ni à gauche en 0. Quand $x$ tend
vers $0$, $f_5(x)$ oscille continûment entre $-1$ et $1$, de plus
en plus vite à mesure que $x$ se rapproche de $0$.
Pour montrer que $f_5$ n'a pas de limite à droite en 0, nous aurons besoin d'avoir étudié les
suites~:~il faudra donc patienter un peu.
\MATA{Ouf !...}
\end{itemize}
%allons utiliser un raisonnement très important à comprendre.
%
% On
%remarque
% que tout
%intervalle de la forme $]0,\alpha]$ contient un réel de la forme
%$1/2n\pi$ et un autre de la forme $1/(2m+1)\pi$ avec $n$ et $m$
%entiers, ce qui conduit à une contradiction puisque
%$$f_5\bigl(1/2n\pi\bigr)=1\ \ {\rm et}\ \ f_5\bigl(1/(2m+1)\pi\bigr)=-1\cdot$$
%
%\MAT{Je ne vois pas trop où est la contradiction. Ce mélange de
%suite et de fonctions m'embrouille.}
%
%\pro Auriez-vous oublié la fin de l'épisode II~: si $\ds\lim_{n\to
%+\infty}u_n=0$ et $\ds\lim_{x\to0}f(x)=\ell$, alors
%$\ds\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=\ell$.
%
%\MAT{ah ouais~! Les deux suites $(1/2n\pi)$ et
%$\bigl(1/(2n+1)\pi\bigr)$ convergent vers 0, donc si $f_5$
%admettait une limite, les suites $\bigl(f_5(1/2n\pi)\bigr)$ et
%$\Big(f_5\big(1/(2n+1)\pi\big)\Big)$ convergeraient vers cette
%même limite, ce qui n'est pas le cas. Comme nous aboutissons à une
%contradiction, c'est que notre hypothèse de départ était fausse,
%donc $f_5$ n'admet pas de limite en $+\infty$.}
%
%\pro On f'ra quelque chose de vous, jeune Mataïe.
%
\subsection{Comment montrer que deux courbes se rencontrent ?}
\MAT{Mais c'est encore le même genre de problème, à condition de
supposer que les deux courbes sont des <<~traits continus ~>>.}
\pro Ce que nous supposerons. Et vous avez raison, on pourra
\textit{souvent} se ramener au théorème des valeurs
intermédiaires.
Montrer que les graphes des fonctions continues $f$ et $g$ se
rencontrent revient à montrer qu'il existe $c$ tel que
$f(c)=g(c)$. On introduit alors la \textit{fonction auxiliaire}
$f-g$, et pour montrer qu'elle s'annule, il suffit d'après le
théorème des valeurs intermédiaires de trouver $a$ et $b$ tels que
$f(a)\ie g(a)$ et $f(b)\se g(b)$.
\sm
On peut par exemple utiliser cette technique pour montrer qu'une
fonction $f$ continue définie sur $[0,1]$ et à valeurs dans ce
même intervalle $[0,1]$ admet un point fixe, car cela revient à
montrer que son graphe rencontre la première bissectrice.
\sm
Nous traiterons ces exemples en exercices.
\MAT{Vous aviez l'air de dire tout à l'heure que le théorème des
valeurs intermédiaires ne permettait pas toujours de montrer que
deux courbes se rencontrent.}
\pro Oui, dans le cas où les deux courbes se rencontrent <<~sans
se croiser~>>. Par exemple, cela peut se produire avec le graphe
d'une fonction ayant certaines propriétés et l'une de ses
tangentes.
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.242}
\end{center}
On peut avoir $f(c)=g(c)$ sans qu'il existe $a$ et $b$
distincts
tels que $f(a)\ie g(a)$ et $f(b)\se g(b)$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% nouveauté 2003
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{ Comment montrer qu'une équation admet une unique
solution~?}
\pro Le TVI s'avère fort utile comme vous venez de le découvrir,
pour montrer qu'une équation admet \textit{au moins} une solution.
Il a pourtant un défaut\,\footnote{Contrairement à vous, chanceux
lecteur, \mat\ ne peut distinguer à l'oreille les caractères en
italique}.
\tsx On sait que l'équation admet \textit{au moins} une solution,
mais on ne sait pas \textit{combien} de solutions cela
représente\,\footnote{Vous devez admettre que \mat \ assure un
max}.
\pro Vous avez mis le sabre laser sur la faiblesse du TVI. En
fait, il suffit de rajouter une petite hypothèse au TVI pour le
voir se transformer en TSU.
\tsx TSU, TSU, mmmm.... J'y suis ! Théorème de LA solution
unique\,\footnote{Faut quand même pas pousser : c'est plus un
élève, c'est un héros de film américain}.
\pro Oui ! Alors, comment être sûr de l'unicité de la solution ?
\tsx Je suppose qu'un petit dessin devrait m'aider.
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.20}
\end{center}
En fait, si la courbe joue aux montagnes russes, certains réels de
l'intervalle $\big[f(a),f(b)\big]$ auront plusieurs antécédents,
ce qui ne sera plus vrai si $f$ est strictement monotone.
\pro Nous pouvons à présent énoncer le théorème de LA solution
unique\,\footnote{Pour le bac, un tableau de variation complété
suivi d'une phrase du style <<~ par lecture du tableau de
variation~>> suffira}
\begin{theoreme}[Théorème de la solution unique (Théorème de la bijection)]
Soit $f$ une fonction
\textbf{continue} et \textbf{strictement monotone} d'un intervalle
$I$ vers $\bbr$, et soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$ tels
que $ak$. Alors
l'équation $g(x)=k$ admet une unique solution $c$ dans $]a,b[$
d'après le TSU. Pour obtenir une valeur approchée de $c$, on va
<<~dichotomer~>> le segment $[a,b]$, c'est-à-dire qu'on va le
couper en deux, par exemple par le milieu $m=(a+b)/2$. Le monde
alors se sépare en deux catégories :
\bez
\item si $g(m)> contenant $c$, centrés en $m_n$ et de longueurs
aussi petites que l'on veut. Vous pourrez peut-être démontrer
l'année prochaine que la suite $(m_n)$ converge vers $c$, et que
les différentes valeurs de $m_n$ sont autant de valeurs approchées
de $c$.
\tsx Mais à quoi sert cette méthode puisque ma calculatrice
possède la fonction \texttt{solve}~?
\pro Justement, le (la) programmeur(se) de votre calculatrice a
probablement utilisé une méthode pour
écrire le programme associé à la touche \texttt{solve}, un peu plus compliquée que la dichotomie,
mais un futur
scientifique et informaticien comme vous doit donc connaître la
méthode de dichotomie.
\subsection{Avec XCAS}
Pour mettre tout ceci en pratique, ouvrons XCAS
\begin{lstlisting}
dicho(f,p,a,b):={
local aa,bb,k;
aa:=a;
bb:=b;
k:=0; // on cree un compteur d'iterations
while( (bb-aa)>p) {
if ( f(0.5*(bb+aa))*f(bb)>0 )
then{ bb:=0.5*(aa+bb) }
else{ aa:=0.5*(aa+bb) }
k:=k+1; // on rajoute 1 au compteur
}
return 0.5*(bb+aa)+" est la solution trouvee apres " +k+ " iterations";
}:;
\end{lstlisting}
ce qui donne pour $\sqrt{2}$
\begin{lstlisting}
Digits:=30:;
dicho(x->x^2-2,10^(-30),1,2)
\end{lstlisting}
Et on obtient~:
{\small
{\centering
\verb+1.414213562373095048801688724209 est la solution trouvée+
\verb+après 100 itérations+
}
}
\vfill
.
\pagebreak
\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}
\begin{listeexercices}
{\small
\subsection{Avec les définitions}
\begin{exercice}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par
$f(x)=\fr{2x^2+1}{x^2}$
\begin{enumerate}
\item Donner des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $f(1)$,
$f(32)$, $f(320)$ et $f(3232)$.
\item Observer la représentation graphique de $f$ donnée par une
calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la
limite de $f$ en $+\infty$ ?
\item On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon 0,01 ,
c'est-à-dire $]1,99 ; 2,01[$ .
Démontrer que pour $x > 10$ , $f(x)\in ]1,99 ; 2,01[$ (On pourra écrire
$f(x)$ sous la forme $f(x)=2+1/x^2$ )
\item On considère l'intervalle $]2-r, 2+r[$ avec $r>0$.
Montrer que pour $x$ supérieur à un certain $x_0$ à déterminer en
fonction de $r$ , tous les $f(x)$ appartiennent à l'intervalle
$]2-r,2+r[$.
\item Démontrer que $\Lim{+\infty} f(x)=2$
\end{enumerate}
\end{exercice}
%%
\begin{exercice}
On considère la fonction $g$ définie sur $\bbr$ par $3x^3+x^2$
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $g(32)$, $g(320)$ et $g(3232)$.
\item Observer la représentation graphique de $g$ donnée par une
calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la
limite de $g$ en $+\infty$ ?
\item On considère l'intervalle $]100; +\infty[$ . Démontrer que pour
$x > 10$, $f(x)\in\ ]100,+\infty[$.
\item On considère un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 0. Montrer
que pour $x$ supérieur à $\sqrt{A}$ , tous les $f(x)$ appartiennent à
l'intervalle $]A ; +\infty[$ .
\end{enumerate}
\end{exercice}
%%
\begin{exercice}
Soit $h$ définie sur $\bbr$ par $h(x)=-2x+3$
Démontrez que $\Lim{+\infty}f(x)=-\infty$
\end{exercice}
%%
\begin{exercice}
On considère la fonction $h$ définie sur $]1,+\infty[$ par
$h(x)=2+\fr{3}{(x-1)^2}$
\begin{enumerate}
\item Justifiez que $h$ est bien définie sur $]1,+\infty[$.
\item Observer la représentation graphique de $h$ donnée par une
calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la
limite de $h$ en $1$ ?
\item On considère l'intervalle $]1000; +\infty[$ . Donnez une
condition suffisante portant sur $x$ pour que $h(x)\in\ ]1000,+\infty[$.
\item On considère un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 2. Donnez
une condition suffisante portant sur $x$ pour que $h(x)\in ]A ;
+\infty[$ .
\item Justifiez que $\Lim{1} h(x)=+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{Avec les théorèmes}
\begin{exercice}[Limite en zéro]
Soit $f~:~x\mapsto \fr{|x|}{x}$. \'Etudiez sa limite en zéro.
\end{exercice}
%%
\begin{exercice}[De la géométrie pour calculer une limite]
Voici une première méthode de calcul de $\Lim{0}\fr{\sin x}{x}$.
Pourquoi suffit-il d'étudier la limite pour des valeurs de $x>0$ ?
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{limfonc.12}
\end{center}
Utilisez la figure pour obtenir que, pour tout $x\in]0,\pi/2[$, $$\sin
x> propose le Lièvre de Mars.}
\textit{<<~Je n'ai rien pris du tout, je ne saurai donc reprendre de rien~!~>>}
\textit{<<~Vous voulez dire que vous ne sauriez reprendre de quelque chose~>> repartit le Chapelier.\\
<<~Quand il n'y a rien, ce n'est pas
facile d'en reprendre~>>.}
\sm
\begin{itemize}
\item Alors comme ça, vous êtes étudiante~?
\item Oui, en mathématiques par exemple.
\item alors que vaut cette fraction : un sur deux sur trois sur quatre~?
\item Eh bien ...
\item Elle vaut deux tiers, la devança le Loir.
\item Ou trois huitièmes si vous préférez, ajouta le Lièvre de Mars.
\item Ou encore un sur vingt-quatre, affirma le Chapelier.
\item En fait, je crois que...
\item Aucune importance ! Dîtes-nous plutôt combien vous voulez de sucre dans votre thé~?
\item Deux ou trois, ça dépend de la taille de la tasse.
\item Certainement pas, car de toute façon, deux ou trois c'est pareil.
\item Parfaitement~! approuva le Loir en fixant Alice qui écarquillait les yeux.
\item Ce n'est pourtant pas ce qu'on m'a appris, fit celle-ci.
\item Pourtant, ce n'est pas compliqué à comprendre, en voici une démonstration des plus élémentaires\\
On sait que pour tout entier $n$ on a successivement
$$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
$$(n+1)^2-2n-1=n^2$$
Retranchons $n(2n+1)$ des deux côtés
$$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)=n^2-n(2n+1)$$
Mézalor, en ajoutant $(2n+1)^2/4$, on obtient
$$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}=$$
$$n^2-n(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}$$
Soit
$$\pa{(n+1)-\fr{2n+1}{2}}^2=\pa{n-\fr{2n+1}{2}}^2$$
En passant à la racine carrée, on obtient
$$(n+1)-\fr{2n+1}{2}=n-\fr{2n+1}{2}$$
d'où
$$n+1=n$$
Et si je prends $n=2$, j'ai aussitôt $3=2$
\item Alors, qu'est-ce que vous en dites~?
\item Je...commença Alice.
\item D'ailleurs, cela prouve que tous les entiers sont égaux, la coupa le Lièvre de Mars.
\item Pas mal du tout ! Qu'en dites-vous mademoiselle la mathématicienne~?
\item Je vais vous dire tout de suite ce que j'en pense
\item Ah non ! Nous préférerions de loin que vous pensiez ce que vous allez nous dire.
\item C'est pareil ! grinça Alice qui commençait à en avoir assez.
\item Comment ça, c'est pareil~? Dire ce que l'on pense ce serait pareil que penser ce que l'on dit~? S'étrangla le Lièvre de Mars.
\item Incroyable ! Et manger ce qu'on voit ce serait pareil que voir ce qu'on mange~?
\item Mais...
\item Et respirer quand on dort pareil que dormir quand on respire ~?
\item En logique, nous vous mettons 3 sur 5.
\item Autant dire moins que un.
\item C'est à dire zéro, puisque si 2=3 alors 1=0.
\item Parce que chez vous, 3 c'est moins que 1 ? s'indigna Alice.
\item On se demande ce qu'on vous apprend à l'école ! Bien sûr que oui ! Tenez, considérez
$$f(x)=\fr{x^2+32}{2x^2+1}+\fr{|x|+1}{2x+51}$$
Eh bien il est facile de voir que cette fonction a pour limite 0 en moins l'infini et 1 en plus l'infini.
\item Je ne dis pas le contraire, protesta Alice.
\item Donc l'image par $f$ de $\bbr$ est l'intervalle $]0,1[$, or $f(0)=3$, donc 3 appartient à $]0,1[$ à ce titre : on a bien 3 plus
petit que 1.
\item C'est de la folie pure, pensa Alice...
\end{itemize}
\emph{Merci à Pierre Osadtchy}
\end{exercice}
\subsection{Exercices divers}
\begin{exercice}[Cheshire cat's journey] Un chat du Cheshire parcourt 10 km en 2 heures. montrez qu'il existe un intervalle de temps de durée 1 heure pendant lequel il a
parcouru exactement 5 km.
\emph{Introduisez la fonction qui à t associe le nombre de km parcourus en t heures puis la fonction $t\mapsto d(t+1)-d(t)$}
\end{exercice}
%%%%
\begin{exercice}[Racine d'un polynôme] Montrez que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. \emph{Il faut considérer la fonction polynomiale
associée et chercher un théorème dans le cours qui vous permette de conclure.}
\end{exercice}
%%%%
\begin{exercice}[Partie entière] \'Etudiez et représentez graphiquement la fonction $f$ définie sur $\bbr^*$ par
$f~:\ x\mapsto \fr{E(x)}{x}$
\end{exercice}
%%%%
\begin{exercice}[Partie entière~:~le retour] Soit $F$ la fonction définie sur $\bbr$ par
$F~:\ x\mapsto x-E(x)$
On rappelle que $E(x)$ est l'unique entier vérifiant $E(x)\ie x1/2 \end{cases}$$
Donnez une interprétation physique de cette fonction si $x$ représente la fréquence d'un signal émis par un émetteur radio.
\end{exercice}
%%%%
\begin{exercice}[Signal carré]
Pour s'amuser, on fait varier le sens du courant. Représentez la fonction $\varphi$ qui est de période 1 et vérifie
\[t\mapsto \f(t)=\begin{cases} E & \text{si}\ 0